বিগত সালের প্রশ্ন ও প্রশ্ন ব্যাংক

'সেলেসাওরা' ব্রাজিল দলের উপনাম। 

দক্ষিণ আমেরিকান অনূর্ধ্ব-২০ চ্যাম্পিয়নশিপে আবারও শিরোপা জিতল ব্রাজিল। এ নিয়ে টানা দ্বিতীয় এবং সব মিলিয়ে ১৩তমবার দক্ষিণ আমেরিকা মহাদেশের বয়সভিত্তিক টুর্নামেন্টটির ট্রফি জিতল সেলেসাওরা। দ্বিতীয় সর্বোচ্চ ৮টি শিরোপা জিতেছে উরুগুয়ে। অন্যদিকে আর্জেন্টিনা ৫, কলম্বিয়া ৩ ও প্যারাগুয়ে ও ইকুয়েডর একটি করে শিরোপা জিতেছে।

দক্ষিণ আমেরিকান অনূর্ধ্ব-২০ চ্যাম্পিয়নশিপে আবারও শিরোপা জিতল ব্রাজিল। এ নিয়ে টানা দ্বিতীয় এবং সব মিলিয়ে ১৩তমবার দক্ষিণ আমেরিকা মহাদেশের বয়সভিত্তিক টুর্নামেন্টটির ট্রফি জিতল সেলেসাওরা। দ্বিতীয় সর্বোচ্চ ৮টি শিরোপা জিতেছে উরুগুয়ে। অন্যদিকে আর্জেন্টিনা ৫, কলম্বিয়া ৩ ও প্যারাগুয়ে ও ইকুয়েডর একটি করে শিরোপা জিতেছে।

দেওয়া আছে

A = {x : x হলো 5, 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150}

5 ও 7 এর লসাগু = 35
150 অপেক্ষা ছোট 5 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 35, 70, 105, 140 
P(A) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁴ = 16টি

 মুক্তিযুদ্ধবিষয়ক মন্ত্রণালয়ের উপদেষ্টা ফারুক ই আজম জানিয়েছেন, জুলাই অভ্যুত্থানে প্রতি শহীদ পরিবার সঞ্চয়পত্রের নিরিখে এককালীন ৩০ লাখ টাকা পাবেন এবং আহতরা এককালীন টাকা পাবেন এবং প্রতি মাসে ভাতা পাবেন। ক্যাটাগরিভিত্তিতে এককালীন টাকা ও ভাতার পরিমাণ নির্ধারিত হবে। গুরুতর আহতরা এ-ক্যাটাগরিতে, তারা এককালীন ৫ লাখ টাকা পাবেন এবং ২০ হাজার টাকা প্রতি মাসে ভাতা পাবেন। এক অঙ্গহানি হয়েছে যাদের তারা বি-ক্যাটাগরিতে। তারা এককালীন ৩ লাখ টাকা পাবেন, সঙ্গে ১৫ হাজার করে টাকা মাসিক ভাতা পাবেন। পাশাপাশি সরকারের বিভিন্ন মাত্রায় তারা প্রশিক্ষণ পাবেন। তারা সরকারি, আধা সরকারি ও বেসরকারি বিভিন্ন প্রতিষ্ঠানে অগ্রাধিকার ভিত্তিতে চাকরি পাবেন। কোটার ভিত্তিতে নয়, অবশ্যই মেধার ভিত্তিতে। আর যেসব আহত চিকিৎসার পর সুস্থ হয়ে গেছেন তারা সি-ক্যাটাগরিতে পড়ছেন। তারা অগ্রাধিকার ভিত্তিতে চাকরি বা অন্য কিছুতে পুনর্বাসন প্রক্রিয়ায় অগ্রাধিকার পাবেন। তবে তারা কোনো টাকা বা ভাতা পাবেন না।

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু

= 4√2 সেমি

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 
বৃত্তের ব্যাস = 4√2

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4√2/2 = 2√2 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(2√2)²
= 8π বর্গসেমি

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০

ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’

প্রশ্নমতে,
২৮° + ৬২° + ক = ১৮০°
বা, ৯০° + ক = ১৮০°
∴ ক = ৯০°

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ বা ৯০° এবং অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।

ত্রিভুজটি সমকোণী

সমাধান: 
দেওয়া আছে

সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ২ সে.মি.

উচ্চতা, h = ৬ সে.মি. 

আমরা জানি,

সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)

= ২π × ২(২ + ৬)
= ২π × ১৬

= ৩২π বর্গ সে.মি.

সমাধান:

১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ১০০০/৩০ = ৩৩.৩৩৩ ≅ ৩৩

১৬ ও ৩০ দ্বারা ল.সা.গু ২৪০
আবার, ১৬ ও ৩০ উভয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ১০০০/২৪০ =  ৪.১৬৭ ≅ ৪

১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ১৬ দ্বারা বিভাজ্য নয় কিন্তু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৩৩ - ৪ = ২৯

log_√8x = 3(1/3)
বা, log_√8x = 10/3
বা, x = (√8)^10/3
বা, x = (√2³)^10/3
বা, x = (2^3/2)^10/3
বা, x = 2⁵
∴ x = 32

সমাধান:
(1/2) × 2^{x - 3} + 1 = 5
⇒ 2 ^{- 1} × 2^{x - 3} + 1 = 5
⇒ 2^{x - 4} = 5 - 1
⇒ 2^{x - 4} = 4
⇒ 2^x . 2^{- 4} = 4
⇒ 2^x . 1/2⁴ = 4
⇒ 2^x . 1/16 = 4
⇒ 2^x = 16 . 4
⇒ 2^x = 64
⇒ 2^x = 2⁶
∴ x = 6

সমাধান:

3x - y = 3 ............... (1)

5x + y = 21 ..............(2)

(1) + (2) নং হতে পাই,

3x - y = 3
5x + y = 21
8x = 24

∴ x = 3

(1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

(3 × 3) - y = 3
বা, 9 - y = 3
বা, y = 9 - 3

∴ y = 6

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 6)

সমাধান: 
দেওয়া আছে
x² + y² + z² = 2
xy + yz + zx = 1

প্রদত্ত রাশি = (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² 
= x² + 2 × x × 2y + (2y)² + y² + 2 × y × 2z + (2z)² + z² + 2 × z × 2x + (2x)²
= x² + 4xy + 4y² + y² + 4yz + 4z² + z² + 4xz + 4x²
= 5x² + 5y² + 5z² + 4xy + 4yz + 4xz
= 5(x² + y² + z²) + 4(xy + yz + zx)
= (5 × 2) + (4 × 1)
= 10 + 4
= 14

স্কিন ব্যাংক:

- বিশ্বের বিভিন্ন দেশে স্কিন ব্যাংক একটি স্বীকৃত চিকিৎসা পদ্ধতি।
- সিঙ্গাপুর, থাইল্যান্ড ও ভারতে এটি দীর্ঘদিন ধরে চালু রয়েছে।
- গুরুতর দগ্ধ হলে রোগীর শরীর থেকে চামড়া নেওয়া সম্ভব না হয়, তখন স্কিন ব্যাংক থেকে সংরক্ষিত চামড়া প্রতিস্থাপন করা হয়।
- এতে রোগীর মৃত্যুঝুঁকি কমে এবং দ্রুত নতুন চামড়া তৈরি হতে সহায়তা করে।

উল্লেখ্য,
- ১৬ ফেব্রুয়ারি,২০২৫ বাংলাদেশে প্রথমবারের মতো জাতীয় বার্ন অ্যান্ড প্লাস্টিক সার্জারি ইনস্টিটিউটে ‘স্কিন ব্যাংক’ চালু হয়েছে।
- ‘স্কিন ব্যাংক’ চালু করেন প্রধান উপদেষ্টার বিশেষ সহকারী অধ্যাপক ডা. সায়েদুর রহমান।
- এখানে উন্নত প্রযুক্তির ৮টি বিশেষ ফ্রিজের মাধ্যমে সংরক্ষণ প্রক্রিয়া চালানো হচ্ছে।

স্কিন ব্যাংক:

- বিশ্বের বিভিন্ন দেশে স্কিন ব্যাংক একটি স্বীকৃত চিকিৎসা পদ্ধতি।
- সিঙ্গাপুর, থাইল্যান্ড ও ভারতে এটি দীর্ঘদিন ধরে চালু রয়েছে।
- গুরুতর দগ্ধ হলে রোগীর শরীর থেকে চামড়া নেওয়া সম্ভব না হয়, তখন স্কিন ব্যাংক থেকে সংরক্ষিত চামড়া প্রতিস্থাপন করা হয়।
- এতে রোগীর মৃত্যুঝুঁকি কমে এবং দ্রুত নতুন চামড়া তৈরি হতে সহায়তা করে।

উল্লেখ্য,
- ১৬ ফেব্রুয়ারি,২০২৫ বাংলাদেশে প্রথমবারের মতো জাতীয় বার্ন অ্যান্ড প্লাস্টিক সার্জারি ইনস্টিটিউটে ‘স্কিন ব্যাংক’ চালু হয়েছে।
- ‘স্কিন ব্যাংক’ চালু করেন প্রধান উপদেষ্টার বিশেষ সহকারী অধ্যাপক ডা. সায়েদুর রহমান।
- এখানে উন্নত প্রযুক্তির ৮টি বিশেষ ফ্রিজের মাধ্যমে সংরক্ষণ প্রক্রিয়া চালানো হচ্ছে।

সমাধান: 
x² - 7x + 12 ≤ 0
x² - 3x - 4x  + 12 ≤ 0
x(x - 3) - 4(x - 3) ≤ 0
∴ (x - 3)(x - 4) ≤ 0

x² - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0 হয়।
এখন, x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0
অর্থাৎ,  x ≤ 3 এবং x ≥ 4
3 এর চেয়ে ছোট বা সমান এবং 4 এর চেয়ে বড় বা সমান x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 ≤ 0 হয়।
এখন,  x - 3 ≥ 0 এবং x - 4 ≤ 0
অর্থাৎ x ≥ 3 এবং x ≤ 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 4 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 3 ≤ x ≤ 4

x² - 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট [3, 4]

সমাধান:
এই ধরণের প্রশ্নগুলো অপশন টেস্ট করে করা তুলনামূলক সহজ।

অপশন (গ): ২ : ৩
ধরি,
একটি সংখ্যা ২ক এবং অপর সংখ্যা ৩ক

এখন
২ক + ৩ক = ৩০০
৫ক = ৩০০
ক = ৬০

একটি সংখ্যা = ২ × ৬০ = ১২০
অপর সংখ্যাটি = ৩ × ৬০ = ১৮০
সংখ্যা দুইটির অনুপাত = ১২০ : ১৮০ = ২ : ৩

যেহেতু পূর্ণসংখ্যা দুইটি ১০০ হতে বড়।
তাই সঠিক উত্তর: অপশন (গ)

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রারম্ভিক মূলধন, P = ৪০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
সবৃদ্ধিমূল বা চক্রবৃধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৪০০{(১ + (৫/১০০)}^২
= ৪০০{(১০০ + ৫)/১০০}^২
= ৪০০(১০৫/১০০)^২
= ৪০০ × (২১/২০) × (২১/২০) টাকা
= ৪৪১ টাকা

সীমান্ত সম্মেলন:

- বর্ডার গার্ড বাংলাদেশ (বিজিবি) এবং ভারতীয় সীমান্তরক্ষী বাহিনীর (বিএসএফ) মহাপরিচালক পর্যায়ের ৫৫তম সীমান্ত সম্মেলন ১৭ ফেব্রুয়ারি শুরু হয়েছে।
- ভারতের নয়াদিল্লিতে অনুষ্ঠেয় এই সম্মেলন চলবে চার দিনব্যাপী।
- সম্মেলনে বিজিবি মহাপরিচালকের নেতৃত্বে ১৩ সদস্যের বাংলাদেশ প্রতিনিধিদল অংশগ্রহণ করবে।
- অন্যদিকে বিএসএফ মহাপরিচালকের নেতৃত্বে ১৩ সদস্যের ভারতীয় প্রতিনিধিদল অংশগ্রহণ করবে।
- ভারতীয় প্রতিনিধিদলে বিএসএফের ঊর্ধ্বতন কর্মকর্তা ছাড়াও ভারতের কেন্দ্রীয় স্বরাষ্ট্র ও পররাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের সংশ্লিষ্ট কর্মকর্তারা প্রতিনিধিত্ব করবেন।
-  ২০ ফেব্রুয়ারি সীমান্ত সম্মেলন আনুষ্ঠানিকভাবে শেষ হবে।

সমাধান:
২/৩ = ০.৬৬৭

এখানে,
৩৩/৫০ = ০.৬৬
৮/১১ = ০.৭৩
৩/৫ = ০.৬০
১৩/২৭ = ০.৪৮

এখানে, ২/৩ < ৮/১১

৮/১১ ভগ্নাংশটি ২/৩ হতে বড়।

স্কিন ব্যাংক:

- বিশ্বের বিভিন্ন দেশে স্কিন ব্যাংক একটি স্বীকৃত চিকিৎসা পদ্ধতি।
- সিঙ্গাপুর, থাইল্যান্ড ও ভারতে এটি দীর্ঘদিন ধরে চালু রয়েছে।
- গুরুতর দগ্ধ হলে রোগীর শরীর থেকে চামড়া নেওয়া সম্ভব না হয়, তখন স্কিন ব্যাংক থেকে সংরক্ষিত চামড়া প্রতিস্থাপন করা হয়।
- এতে রোগীর মৃত্যুঝুঁকি কমে এবং দ্রুত নতুন চামড়া তৈরি হতে সহায়তা করে।

উল্লেখ্য,
- ১৬ ফেব্রুয়ারি,২০২৫ বাংলাদেশে প্রথমবারের মতো জাতীয় বার্ন অ্যান্ড প্লাস্টিক সার্জারি ইনস্টিটিউটে ‘স্কিন ব্যাংক’ চালু হয়েছে।
- ‘স্কিন ব্যাংক’ চালু করেন প্রধান উপদেষ্টার বিশেষ সহকারী অধ্যাপক ডা. সায়েদুর রহমান।
- এখানে উন্নত প্রযুক্তির ৮টি বিশেষ ফ্রিজের মাধ্যমে সংরক্ষণ প্রক্রিয়া চালানো হচ্ছে।